Romeo y Julieta

Un acercamiento a las ecuaciones diferenciales a través de Romeo y Julieta

Amor y odio

Tennyson escribió "la fantasía de un joven suavemente se convierte en pensamientos de amor"

Pero su posible compañera tiene pensamientos propios, y la interacción entre ambos puede llevar a las tumultuosas subidas y bajadas que hacen del nuevo amor algo tan emocionante, y algunas veces tan doloroso. Muchas almas en pena han buscado en la bebida y la música la respuesta a estos vaivenes, otros en la poesía. Nosotros como somos matemáticos vamos a consultar al cálculo para ver que tiene por decirnos.

Aquí hay un punto importante: podemos observar que las leyes del corazón pueden eludirnos siempre (si no cree esto ahora, seguro lo hará en algún momento), mientras que las leyes de lo inanimado se entienden ahora perfectamente. Todo esto se puede modelar mediante las ecuaciones diferenciales, que describen cómo variables interconectadas cambian de un momento a otro, dependiendo de sus condiciones iniciales. En cuanto a la relación de estas ecuaciones con el romanticismo, bueno, al menos arrojan algo de luz sobre por qué, en palabras de otro poeta, "el curso del verdadero amor nunca fluyó con suavidad".

Para ilustrar esta idea, supongamos que Romeo está enamorado de Julieta, pero, en nuestra versión de la historia, Julieta es una amante inconstante. Cuanto más la quiere Romeo, más ganas tiene ella de huir y esconderse. Pero cuando él asume la indirecta y se retira, ella empieza a encontrarle extrañamente atractivo. Él, sin embargo, tiende a reflejarse en ella: se anima cuando ella le quiere y se enfría cuando le odia.

¿Qué les pasa a nuestros desventurados amantes? ¿Cómo va y viene su amor a lo largo del tiempo? Aquí es donde aparece el cálculo. Escribiendo ecuaciones que resuman la manera en que Romeo y Julieta responden a los afectos mutuos y luego resolviéndolas por medio del cálculo, podemos predecir el curso de su relación. El pronóstico resultante es, trágicamente, un ciclo interminable de amor y odio. Por lo menos, logran un amor simultáneo durante un cuarto del tiempo.

Para alcanzar esta conclusión, he asumido que el comportamiento de Romeo puede modelarse mediante la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{dR(t)}{dt}=aJ(t)$$ que describe cómo su amor representado por $R(t)$ cambia en el instante siguiente representado por $dt$.

De acuerdo con esta ecuación, la cantidad de cambio $dR(t)$ es solo un múltiplo $a$ del amor actual de Julieta $J(t)$.

Esto refleja lo que ya sabemos —que el amor de Romeo incrementa cuando Julieta le quiere—, pero asume algo más serio. Dice que el amor de Romeo incrementa en proporción lineal directa a cuanto le quiere Julieta. Esta asunción de linealidad no es emocionalmente realista, pero hace que la ecuación sea más sencilla de resolver.

El comportamiento de Julieta, contrariamente, puede modelarse por la ecuación: $$\frac{dJ(t)}{dt}=-bR(t)$$

El signo negativo frente a la constante $b$ refleja la tendencia de Julieta a enfriarse cuando Romeo la quiere.

Lo único que nos queda por saber es cómo se sentían inicialmente los amantes, esto es  $R(t)$ y $J(t)$ en tiempo $t = 0$. Entonces, todo en su relación está predeterminado.

Podemos utilizar un ordenador para mover lentamente hacia delante a $R(t)$ y $J(t)$, cambiando sus valores instante a instante, tal y como sugieren las ecuaciones diferenciales. De hecho, con la ayuda del teorema fundamental del cálculo, podemos llegar más lejos. Puesto que el modelo es muy simple, no tenemos que arrastrarnos poco a poco. El cálculo ofrece un par de fórmulas generales que nos dicen cuánto se querrán (u odiarán) Romeo y Julieta en cualquier momento futuro.

Las ecuaciones diferenciales anteriores deben resultar familiares a estudiantes de física: Romeo y Julieta se comportan como osciladores armónicos simples. Así, el modelo predice que $R(t)$ y $J(t)$ —las funciones que describen el curso del tiempo de su relación— serán ondas sinusoidales, cada una creciente y menguante, pero alcanzando su máximo en diferentes momentos.

El modelo puede hacerse más realista de varias maneras. Por ejemplo, puede que Romeo reaccione tanto ante sus propios sentimientos como ante los de Julieta.

Puede ser el tipo de hombre al que le preocupa abalanzarse sobre ella y que, por tanto, decide ir más despacio mientras su amor continúa creciendo. O puede que sea un tipo de hombre al que le gusta tanto sentirse enamorado que la ama aún más por ello.

Añada a esas dos posibilidades las dos maneras en que Romeo puede reaccionar a los afectos de Julieta —aumentando o disminuyendo sus propios afectos— y verá que existen cuatro tipos de personalidades, cada una correspondiente a un estilo distinto de amar. Sir Isaac Newton empleó las ecuaciones diferenciales para resolver el antiguo misterio del movimiento planetario. Haciéndolo, unificó las esferas terrestre y celeste, mostrando que las mismas leyes de movimiento se aplicaban a ambas.

En los casi $350$ años transcurridos desde Newton, la humanidad ha descubierto que las leyes físicas siempre se expresan mediante ecuaciones diferenciales. Esto es cierto para las ecuaciones que regulan el flujo del calor, aire y agua; para las leyes de electricidad y magnetismo; incluso para el desconocido y contraintuitivo ámbito atómico, donde reina la mecánica cuántica.

En cualquier caso, el negocio de la física teórica se reduce a la búsqueda de las ecuaciones diferenciales adecuadas y a su resolución. Cuando Newton descubrió la llave de los secretos del universo, sintió que era tan preciada, que la publicó únicamente como un anagrama en latín. Libremente traducido, dice algo así: "Es útil resolver ecuaciones diferenciales".

En matemáticas el problema de los tres cuerpos. Resulta notoriamente intratable, especialmente en un contexto astronómico, donde surgió por primera vez. Cuando Newton resolvió las ecuaciones diferenciales para el problema de dos cuerpos (explicando por qué los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol), se interesó en el problema de los tres cuerpos: Tierra, Sol y Luna. No pudo resolverlo él, ni nadie. Resultó que el problema de los tres cuerpos contenía las semillas del caos, lo que hacía su comportamiento imprevisible a largo plazo.

Newton no sabía nada de la teoría del caos, pero, según su amigo Edmund Halley, se quejaba de que el problema de los tres cuerpos "le provocaba dolor de cabeza y le mantenía despierto tan a menudo que dejaría de pensar en él".

Referencia: Steven Strogatz, el placer de la X.